Олімпіадні задачі до теми "ПОДІЛЬНІСТЬ І ОСТАЧІ"

1. Чи може число, в десятковому записі якого використано 100 оди­ниць, 100 двійок, а решта цифр — нулі, бути точним квадратом?

Розв'язання
Ні, не може, бо сума цифр цього числа дорівнює 300. Отже, воно діли­тися на 3. Тоді, щоб число було точним квадратом, воно повинно ділитися і
на 9, але на 9 воно не ділиться.

2. Чи можна всі двоцифрові числа від 32 до 86 включно виписати у пев­ному порядку одне за одним так, щоб дістати запис простого числа?

Розв'язання
В якому б порядку не були записані дані числа, сума цифр, що стояти­муть на непарних місцях, дорівнюватиме 300. Сума ж цифр, які стоятимуть на парних місцях, дорівнюватиме 245. Різниця 300 – 245 = 55 ділиться на 11. Тому дістанемо число, яке ділиться на 11, яке не є простим.

3. Відомо, що 56а = 65b, причому а і b — натуральні числа. Доведіть, що а+b — складене число.

Розв'язання
65(a + b) = 65a + 65b = 65a + 56a = 121a.

Оскільки, 65 і 121 — взаємно прості числа, то а + b ділиться на 121. Але 121 — складене число. Тому і а +b складене.

Важливі теоретичні відомості:

1. Сума двох довільних натуральних чисел і сума їх остач при діленні на деяке натуральне число дають однакові остачі.

2. Добуток двох довільних натуральних чисел і добуток їх остач при діленні на деяке натуральне число дають однакові остачі.

4. Знайдіть остачі від ділення: а) 2003∙2004∙2005+2004³ на 7;

 б) 9¹⁰⁰ на 8.

Розв'язання
а) При діленні на 7 число 2003 дає в остачі 1; 2004 — дає в остачі 2;
2005 — дає в остачі 3. Тому даний вираз при діленні на 7 дасть таку саму
остачу,які1∙2∙3+2³ = 14, тобто 0.

б) При діленні 9 на 8 маємо в остачі 1. Але 1¹⁰⁰ = 1. Тому остача від
ділення 9¹⁰⁰ на 8 дорівнює 1.

5. Доведіть, що n³ + 2n ділиться на 3 при будь-якому натуральному п.

Розв'язання
Число п при діленні на 3 дає одну з трьох остач: 0, 1, 2. Тому можливі три випадки: п = 3k, п = 3k + 1, п = 3k + 2.

У першому випадку п³ і 2п діляться на 3, а тому і п³+2п також ді­литься на 3.
У другому випадку п³ дає остачу 1, 2п — остачу 2, а 1+2 ділиться на 3.
У третьому випадку п³ дає остачу 2, 2п — остачу 1, а 2+1 ділиться на 3.

Отже, задачу розв'язано. 

6. Визначте дві останні цифри числа 2^2т.

Розв'язання
Переформулюємо нашу задачу інакше: знайдіть остачу від ділення числа 2²⁰⁰⁴ на 100. Знайдемо послідовність остач від ділення на 100 чисел вигляду 2ⁿ. Вона має вигляд: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4, ... Бачимо, що, починаючи з другої остачі 4 для п = 22, остачі від ділення повторюються з періодом 20. Оскільки 2004 при діленні на 20 дає остачу 4, то останні дві цифри числа 2²⁰⁰⁴ такі ж, як дві ос­танні цифри числа 2⁴, тобто 1 та 6.

7. Доведіть, що квадрати натуральних чисел при діленні на 4 можуть давати лише остачі 0 або 1.

Розв'язання
Кожне натуральне число можна подати або у вигляді п–2k, або у ви­гляді п=2k+1 (k = 0, 1, 2, ...). У першому випадку n² – 4k² — ділиться на 4. У другому — n² = 4k² + 4k + 1 при діленні на 4 дає в остачі 1.

Джерело