вівторок, 12 квітня 2016 р.

Нестандартні методи розв'язування задач

Пізнання – це  вічне  наближення  нашого  знання  до  абсолютної  істини…
    Творчість – це  найбільша  насолода  для  розумної  людини…
Андрій  Конфорович

Технологія розвитку критичного мислення
Результат пошуку зображень за запитом "уроки критичного мислення фото"
 Запропонована  концепція  розв’язування  задач,  на  мою  думку,  не  тільки  є  актуальною  і  цікавою  для  успішного  навчання  школярів,  а  й  надає  дітям  можливість отримати  насолоду  від  розв’язання  задач,  і  показати  не  тільки  відмінні  результати  навчання,  а  що  саме  головне, -  отримати  інтелектуальне задоволення,  впевненість  в  своїх  силах  і  можливостях.
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ   ДЕЯКИХ   ТИПІВ   ТЕКСТОВИХ  ЗАДАЧ
1. Задачі  на  пропорційний  поділ
№ 2.1.1.  (8 кл.) Поділіть  число  219  на  три  частини   а, в, с  так,  щоб  а:в= 4:9,  в:с=15:2⅔.

Розв'язання.  Дві  пропорційні  рівності  підпишемо  одна  під  одною  таким  чином,  щоб  в  було  під  в:
а:в = 4:9  
  в:с = 15:2⅔.  
і  отримаємо  9  під 15.  Для  запису  потрійного  пропорційного  відношення  а:в:с  треба  знайти  найменше  спільне  кратне  чисел  9  і  15,  це  45.  Тому  праву  частину  першої  пропорції  множимо  на  5 ( = 45:9),  а другої  пропорції – на  3 (=45:15) .  Тоді запишемо  такий  вираз  а:в:с = 20:45:8.  Ввівши  коефіцієнт  пропорційності  х,  запишемо  короткий  запис  умови  задачі,  по  якому  легко  читається  рівняння:
а – 20 х
в – 45 х 219
с – 8 х
1)20х + 45х + 8х = 219
73х = 219
х = 219 : 73
х = 3
2) 20 · 3 = 60,  а  – перша частина числа,
3) 45 · 3 = 135,  в  – друга частина,
4) 8 · 3 = 24,  с – третя частина.
Відповідь:  а =60,   в = 135,  с = 24.
№  2.1.2. (6 кл.)  Один  бізнесмен  виділив  560 000 доларів  своїй  дружині  і  майбутній  дитині  за  такої  умови:  народиться  син – він  отримає  грошей  удвічі  більше  від  матері;  дочка – мати  отримає  удвічі  більше  від  дочки.  Народилися  близнята – син  і  дочка.  Як  поділили  гроші?
 Розв'язання.  Позначимо  за х  найменшу  кількість  грошей  – доччину.
Син – 4х
Мати – 2х 560 000 доларів
Дочка – х
  1. 4х + 2х + х = 560 000
7х = 560 000
х = 80 000 (дол) – дочці,
  1. 4 · 80 000 = 320 000 (дол) – сину,
  2. 2 · 80 000 = 160 000 (дол) – матері.
Перевірка:    80 000 + 320 000 + 160 000 = 560 000
Відповідь:  сину – 320 000, матері – 160 000, а  дочці – 80 000 доларів.
2. Задачі  на  змішування  розчинів
Як  правило,  концентрація  певної  речовини  виражається  у  сотих  долях  одиниці,  тобто  у  відсотках.  Склад  певного  дорогоцінного  метала  у  сплаві  з  домішками  позначають  числом  тисячних  частин  одиниці  і  називають  пробою.  Наприклад,  якщо  говорять  про  золото  595-ї  проби, то  мають  на  увазі,  що  у  кожних  1000г  такого  «золота»  є тільки  595г  чистого  золота.
Переважна  більшість  задач  на  змішування  розв’язується  складанням  пропорцій  або  систем  рівнянь,  але  існує  старовинний  «спосіб  павука», знайдений  мною  у  «Старинных  занимательных  задачах»
С.  Олехника,  про  який  розкажу   на  прикладі  такої  задачі:
№ 2.2.1.  У  яких  пропорціях  треба  змішати  розчини  50%-ї  і  70%-ї  кислот,  щоб  отримати  розчин  65%-ї  кислоти?
Розв'язання.  Для  розв’язання  цієї  задачі  намалюю  схему:
50 5
             65
70           15
У  першому  стовпчику  схеми  є  відповідні  концентрації  початкових  кислот,  посередині – та  концентрація,  яку  треба  отримати,  а  щоб  записати  цифри  у  правому  стовпчику,  треба,  рухаючись  по  діагоналі,  знайти  модуль  різниць  початкових  концентрацій  і  потрібної:  |50-65|=15,  а    |70-65|=5.
Таким  чином,  І  розчину  треба  5  частин   і  ІІ розчину – 15 частин,  або  відповідно  1 : 3.
Таким  способом  в  давнину  купці  розв’язували  свої  практичні  задачі  на  сплави  дорогоцінних  металів,  на  суміші  чаїв  та  східних  прянощів…


№ 2.2.2.  В  яких  пропорціях  треба  сплавити  золото  357-ї  проби  з  золотом  750-ї  проби,  щоб  отримати  золото  500-ї  проби?
Розв'язання.  Складемо  схему  «павука» :
375  250
  500
750 125,   зрозуміло,  що  шукане  відношення  250125= 21 .
Відповідь:  треба  взяти  на 2  частини  золота  375-ї  проби  1  частину  золота  750-ї  проби.


Наведу  порівняльну  характеристику  стандартного  і  нестандартного  способів  розв’язання  на  прикладі задачі  із  збірника  завдань  для  ДПА  за  9 кл.


№ 2.2.3. Маємо  два  сплави міді  і  цинку. Перший  сплав  містить  9%,  а  другий  - 30%  цинку.  Скільки треба  взяти  кілограмів  першого  сплаву  і  скільки  кілограмів  другого,  щоб  отримати  сплав   масою  300 кг,  що  містить  23 %  цинку?
Розв’яжемо  цю  задачу  традиційним  способом  – складанням   системи  рівнянь, якщо  позначимо  за х  масу  9%-го  сплаву,  а  за  у – масу  30%-го.
{х+у=300 0,09 ·х+ 0,3 · у=0,23 ·300    <=>
За  способом  підстановки  з  І  рівняння  вирахуємо,  що  х = 300 – у  і  замість  х  у  ІІ  рівнянні  підставимо   300 – у .  
{х = 300 – у 0,09 (300 – у)+ 0,3у = 69      ⃒·100        <=>
Розв’яжемо  отримане  рівняння  відносно  у:
9 (300 – у ) + 30у = 6900
2700 – 9у +30у = 6900
21у = 6900 – 2700
21у = 4200
у = 200 (г) -  маса ІІ  сплаву,  і  отримаю  таку  систему :
{х= 300 – 200 у = 200      <=>    {х=100 у=200
Відповідь:  маса  9%-го  сплаву – 100 кг,  маса  30%-го  сплаву – 200 кг.
А  тепер – для  порівняння – застосуємо  «метод  павука».


30%                    14
              23%
9%                      7
Сума  пропорційних  частин  сплавів  14 + 7 = 21,  знайдемо  їх  маси:
714+7·300= 721 ·300=100 (кг) -  маса  9%-го  сплаву,
1414+7·300= 1421 ·300=200 (кг)- маса  30%-го  сплаву.
Іноді,  в  тестах ЗНО  просять  у  відповідь  записати  відношення  маси  важчого  сплаву  до  легшого.  В такому  випадку  навіть  не  потрібно  обчислювати  маси  сплавів,  а  достатньо  знайти  відношення  14  до 7,  тобто  2.
Не  можливо  не  погодитися,  що  розв’язання  таких  задач  за  «методом  павука»  набагато  швидше  і  раціональніше.
№  2.2.4. (тести  ЗНО)  Є  сталь  двох  сортів:  зі  змістом  нікелю  5%  і  40%.  Скільки  сталі  кожного  сорту  треба  взяти,  щоб  після  переплавки  одержати  140 т сталі  зі  змістом  нікелю 30%. У  відповідь  запишіть  відношення  більшої  кількості  до  меншої.
Розв'язання.
5  10
   30
40 25
Таким  чином,  шукане  відношення  25 : 10 = 2,5 : 1.
Відповідь:  у  відношенні  2,5 : 1,  тобто  2,5.
Іноді  в  задачах  на  змішування  до  розчину  добавляють  або  чисту  воду,  або  концентрат  розчиненої  речовини.  Тоді  зручно скласти  таблицю.
№ 2.2.5.  Скільки  грам  води  потрібно  добавити  до  40 г  25%-го  розчину  сірчаної  кислоти,  щоб  отриманим  10%-й  розчин?
Розв'язання.  Нехай  потрібно  додати  х г  води.  Складу  таблицю  з  характеристиками  розчинів:
         Розчини
Маса, г
Вміст  сірчаної  кислоти
І
40
         40 · 0,25
ІІ
40 + х
         40 · 0,25
За  таблицею   отримаємо  рівняння:
40 · 0,25 = (40 + х) · 0,1
40 + х = 100
х = 60 (г) – води.
Відповідь:  60  грам  води  потрібно  добавити .


№ 2.2.6.  У  сплаві  міді  і  олова  масою  12 кг  міститься  45%  міді.  Скільки  олова  потрібно  додати  до  цього  сплаву,  щоб  у  ньому  було  40%  міді?
Розв'язання.  Складу  таблицю,  взявши  за  х  масу  олова:


        Сплави
Маса, г
           Вміст  міді
 Початковий  
12
    12 · 0,45
 Новий
12 + х
   12 · 0,45


0,4 (12 + х) = 12 · 0,45
0,48 + 0,4х = 5,4
0,4х = 0,6
х = 1,5 (г)
Відповідь:  1,5 грам  олова  потрібно  додати  до  цього  сплаву.


    3.  Комбіновані задачі   на  рух  і  спільну  роботу
Комбіновані  задачі  на  рух – це  задачі, в  яких  тіла  певну  частину  часу рухаються  в одному напрямі,  а іншу частину – назустріч  один одному,  або  мають  інші  умови  руху.  Усі  такі  задачі  належать  до  задач  середньої  або  підвищеної складності.
У  деяких  учнів   комбіновані  задачі  на  рух  і  на  роботу  (і  на  заповнення  басейнів  водою  також)  викликають  острах  або,  принаймні,  сумну  посмішку  при  намаганні  скласти  пояснення  задачі.  А  невпевнені  пояснення  умови  задачі  рідко  ведуть  до  успішного  результату.  Причина  цього,  на  мій  погляд,  полягає  у  недостатньому  вмінні  «розкласти  задачу  по  поличкам».  Справа  в  тому,  що  переважна  більшість  таких  задач  підкоряється  практично  одній  формулі  руху:  


            S = V· t   ,   де   S  - шлях ,   V -   швидкість,   t – час.


Цікаво,  що   і  « робота = швидкість  роботи  · час»,   часто  швидкість  роботи  називають  ще  і  продуктивністю.
Тому  при  розв’язуванні  таких  задач  зручніше  користуватися  табличкою,  у  верхньому  рядку  якої  міститься  вищезгадана  формула  руху з  вказаними  одиницями  виміру  величин.


 Умови  руху
 V ,  км / год
·  t  ,  год
=  S  ,  км








      
Коротку  умову  задачі   занесемо  у  два  нижніх  рядка  таблиці , позначивши  невідоме  за  х.  А  у  вільні  клітини  (комірки)  таблиці  вношу  інформацію  таким  чином,  щоб  зберігався  зміст  формули  руху  або зміст  тих  формул,  які  з  неї  випливають,  наприклад :  
V = S : t    (швидкість = шлях : час)  і   t = S : V   (час = шлях : швидкість).
У  заповненій  таблиці  дуже  добре  видно  рівняння,  при  розв’язанні якого  можна  дати  відповідь  на  запитання  задачі.  Цікаво,  що  при  розв’язуванні  задач  на  роботу  замість  шляху  S   запишемо  робота,  яку  позначаємо  одиницею  у  випадку  відсутності  конкретної  кількості,  наприклад,  деталей.


     Почнемо  із  найпростіших  задач.
№  2.3.1. (Збірник  завдань  для  ДПА 9 кл.)   Відстань  між  двома  містами  річкою  80 км.  На  подолання  цієї  відстані  туди  і  назад  катер  витрачає  9  годин.  Знайдіть  власну  швидкість  катера,  якщо  швидкість  течії  річки  2  км / год.
Розв'язання.  Зрозуміло,  що  за  х  позначаємо  швидкість  катера  (х≠0,  
х ≠ ±2),  і  всю  інформацію  послідовно  і  відповідно  до  умови  задачі  занесемо  в таблицю:


 Умови  руху


V ,  км / год



     t  ,  год


  S  ,  км


 За  течією


       х + 2
80х+2


     9     



    80


Проти  течії  



      х - 2
80х-2
                                   


    80
Утворене  в  таблиці  рівняння  розв’яжемо  звичайним  способом:
80х+2+ 80х-2=9
80 ((х-2)+(х+2))(х-2)·(х+2)=9
80 ·2хx2-4= 9 ·(x2-4)x2-4
160х = 9x2- 36
9x2- 160х-36=0
х=160±1602+4·9·362·9= 160±16418
х1=-29 (не  задовольняє  умові  задачі)
х2=18 (км / год) – V катера.
Відповідь:  власна  швидкість  катера  18 км/год.
№  2.3.2. (9 кл.)    З  пунктів  А  і  В  одночасно  назустріч  один  одному  вирушили  велосипедист  і  пішохід,  які  зустрілися  через  1 год  після  початку  руху.  Знайдіть  швидкість  кожного  із  низ,  якщо  велосипедист  прибув  у  пункт  В  на  2год  40 хв  раніше,  ніж  пішохід  у  пункт  А,  а  відстань  між  цими  пунктами становить  16км.
Розв'язання.  Позначимо  швидкість  руху  пішохода  за  х,  і  заповнимо  таблицю,
використавши  формулу  часу  t = S : V   і  те,
що  2 год 40 хв = 24060=16060=83.
 Учасники
    руху


  V ,  км / год


             t  ,  год


S  ,  км


Велосипедист


 16 - х


1616-х


83



16


Пішохід

            
           х


16х


       16


Зазначимо:  якщо  велосипедист  прибув  у  пункт  В  на  2год  40хв  раніше,  ніж  пішохід  у  пункт  А,  то  час  пішохода  був  на  2год  40хв  більшим,  ніж  у велосипедиста.  Тому  стрілою  в  таблиці  позначаємо  різницю  між  більшим  і  меншим  часом.
Утворене  в  таблиці  рівняння  розв’яжемо  звичайним  способом,  при  умові,  що  х ≠ 0  і  х ≠ 16:
16х-1616-х= 83      /:8
2х-216-х= 13
32-2х-2хх(16-х)=13
16х - х2 = 3 · (32 - 4х )


х2 – 16х + 96 – 12х = 0


х2 - 28х + 96 = 0
За  теоремою  Вієта  отримаємо:  х1= 24  (не  задовольняє  умову  задачі),  а    х2=4 (км/год) – швидкість   пішохода,
тоді   16 – 4 = 12 (км/год) – швидкість  велосипедиста.
Відповідь:  4 км/год – швидкість   пішохода, а 12 км/год – швидкість  велосипедиста.


Задачі  на  спільну  роботу  розв’язуються  подібно до  задач  на  рух,  бо  якщо  шлях  дорівнює  добутку  швидкості  руху  на  його  час,  то  і  виконана  робота  дорівнює  добутку  продуктивності  (швидкості  роботи)  на витрачений  час.  Легко   розв’язувати  такі  задачі  подібно  до  задач  на  рух,  записуючи  коротку  умову  в  вищезазначену  таблицю.


№ 2.3.3. (Збірник  завдань  для  ДПА 9 кл.)  
Один  із  мулярів  витрачає  на  виконання  кладки  на  5год  більше,  ніж  другий.  Знайдіть  час,  який  потрібен  кожному  муляру  окремо  для  цієї  ладки,  якщо  вони,  працюючи  разом,  можуть  її  зробити  за  6 год.


 Розв'язання.  Позначимо  за  х  менший  час – час  ІІ  муляра,  і  складемо  таблицю  при  умові,  що  х ≠ - 5 .




Робітники


    V,робота/год



t  ,  год


Робота


І  муляр



1х+5


16         



х + 5



1



  ІІ  муляр


1х


х



1



  1. 1х+5+ 1х= 16  
           х+х+5х(х+5)= 16
6 · (2х + 5) = х (х + 5)
х2 - 7х – 30 = 0
За  теоремою  Вієта,  х1 = - 3  (не  задовольняє  умові  задачі),      
  х2 =10 (год) – час ІІ  муляра,
  1. 10 + 5 = 15 (год) – час  І муляра.


Відповідь:  І  муляру  потрібно  15 годин,  а  ІІ – 10  годин.


№ 2.3.4. (Збірник  завдань  для  ДПА 9 кл.)  
Дві  друкарки,  працюючи  разом,  можуть  виконати  деяку  роботу  за  2 год  24 хв.  Знайдіть  час,  який  потрібен  кожній  друкарці  для  виконання  цієї  роботи  окремо,  якщо  половину  роботи  ІІ  друкарка  виконує  на  1 год  швидше,  ніж  І.
Розв'язання.  Позначимо  час  роботи  І  друкарки  за х  і  заповнимо  таблицю,  враховуючи,  що швидкість  роботи  V = S : t   і  2 год 24хв=22460=14460,  а  1:14460= 60144.


 Друкарки



         V, робота/год



     t ,  год



  Робота



І



1х



60144



         х



1



ІІ


12(х-1)


х-1


12
Розв’яжемо  рівняння  при  умові, що  х ≠ 0  і  х ≠ -1 :
1х+12(х-1)= 60144
2(х-1)2х(х-1)=512
3х-2(х-1)=512
12 (3х – 2 ) = 10 х (х - 1)
36 х – 24 = 10 х2 – 10 х
10 х2 – 46 х + 24 = 0      : 5
5 х2 – 23 х + 12 = 0
х= 23±232-4 ·5 ·122 ·5= 23±1710
х1 = 4 (год) – час І друкарки,  тоді  4 – 1 = 3 (год) – час  ІІ друкарки.
х2 = 0,3 (не за задовольняє  умові  задачі)
Відповідь:   4  години  і  3  години.
    № 2.3.5.  Увесь  басейн  наповнюється  водою  через  І  трубу  за  20 хвилин,  а  через  ІІ – за 30 хвилин.  Через  скільки хвилин  буде  наповнений  увесь  басейн,  якщо  одночасно  відкрити  обидві  труби?
Розв'язання.  Позначимо  за  х  час  наповнення  басейну  обома  трубами  (х ≠ 0),  і  заповнимо  таблицю,  враховуючи,  що швидкість  наповнення  басейна  обернено  пропорційна  часу.


  Труби


         V, басейн / хв



t,  хв


Басейн


І



120



            
1х



20



1



ІІ



130


30



1

120+ 130= 1х
3+260= 1х
5х = 60
х = 12 (хв)
Відповідь:  увесь  басейн буде  наповнений  через  12  хвилин.

4. Задачі  на  прогресії  і  послідовності


Задачі  на  зростаючі  і  спадні  арифметичні  і  геометричні  прогресії  надзвичайно  популярні  не  тільки  зараз  (в  курсі  середньої  школи).  Дуже  часто  зустрічаються  вони  як  в  сучасному  житті,  так  і  в  легендах,  в  історичних  згадках  про  суперечки  і  грошові  нагороди .
Тому  дуже  легко викликати  у  дітей  інтерес  до  таких  задач  внесенням  ігрових  інсценізованих  моментів  на  тему старовинних  казок.  
Широко  відома  індійська  легенда  про  винагороду  зернами,  що  вмістяться  на клітках  шахової  дошки,  якої  зажадав  у  царя  Шерама  винахідник  шахів  Сето.
Цар  був  ображений  мізерністю  винагороди,  а  насправді  виявилося,  що  потрібно  було  б  віддати  18 446 744 073 709 551615  зерен.  Якщо  висота  комори 4 м  і ширина  10 м,  то  довжина  її  повинна  становити  300 000 000 км,  щоб вмістити  таку  кількість  зерна.
№  2.4.2.    Задача  із «Арифметики» М. П. Магніцького


Дехто  продав  коня  за  156  крб.  Однак  покупець,  придбавши  коня, передумав  його  купувати  і  повернув  продавцеві,  кажучи:
— Немає  рації  мені  купувати  за  цю  ціну  коня,  бо  він  таких  грошей  не  вартий.
Тоді продавець запропонував інші умови:
—Якщо,  на  твою  думку,  ціна  коня  надто  велика, то  купи  лише  цвяхи,  що  у його  підковах,  а  коня  дістанеш  тоді  на  додачу  безплатно.  Цвяхів  у  кожній  підкові  6.  За  перший  цвях  дай  мені  лише   чверть  копійки,  за другий  —  половину  копійки,  за  третій  – 1  копійку   і  т. д.
Покупець,   спокушений  низькою  ціною,   бажаючи  даром  дістати  коня, прийняв  умови  продавця,  розраховуючи,  що  за  цвяхи  доведеться  заплатити  не більше   як 10  карбованців.  Скільки  повинен  заплатити   покупець?
Розв’язання.  За цвяхи у підковах довелося заплатити:


14+ 12+1+2+22+ 23+…+224-3 копійок.  
Це дорівнює            2   221- 14  2-1 =  22214  =  4 193 303 34      копійок,
тобто близько 42 тисяч крб.   За таких умов варто коня дати на додачу.


№ 2.4.3.   Підступний  заповіт.  Французька  графиня  Елізабет – Анжеліка  де  Боутвіль  овдовіла  в  20  років. Її  люблячий  чоловік  — губернатор  Сенліса  залишив  такий  заповіт:  за  перший  рік  після  його  смерті  вдові  має  виплачуватися  1  золота  монета,  а  якщо  вона  не  вийде  знову  заміж,  кожного  наступного  року  вона  має  одержувати  вдвічі  більше,  ніж попереднього.  Графиня  прожила  ще  69  років  і  не  вийшла  знову  заміж.  На  яку  суму  грошей вона  отримала  право?
Відповідь:  на суму 147 573 952 314 798 506 112 золотих монет.
Такої суми грошей не існує у всіх банках світу.


№ 2.4.1.  Задача  Джемшида  ібн  Масуда  Ал – Коші . (тести  ЗНО)
Двоє  одночасно пішли  від  однієї  точки  у  протилежних  напрямках  берегом  озера.  Перший  проходив  щодня  10  миль,  а  другий  пройшов  за  І  день  1  милю,  проте  кожного  наступного  він  проходив  на 1  милю  більше,  ніж  попереднього.  Коли  вони  знову  зустрілися,  то  виявилося,  що  перший  пройшов  16 ,  а  другий – 56  довжини  берега.  Скільки  днів  пройшло  до часу  їхньої  зустрічі?
Розв'язання.  Нехай  х – кількість  днів,  витрачених  на  шлях,  тоді  за  кожен  наступний  день  ІІ  чоловік   проходив  ах =  а1 + d(х - 1),   де  а1= 1,  d  = 1  і за  формулою  суми  членів  арифметичної  прогресії    його  шлях  становив    
Sх= 1+1+1(х-1)2  ·х=х+12 ·х
І  пройшов   10х = 16 ,  а  ІІ пройшов    х+12 · х =  56  ,  що  у  5  разів  більше,  звідси  рівняння:     х+12 · х = 5 · 10 · х
х (х+1) = 100х
х2 + х –100х = 0
х2 – 99х = 0,
х1 = 0 (не за задовольняє  умові  задачі),
х2 = 99 (днів)

Відповідь:  99  днів  пройшло  до часу  їхньої  зустрічі.

1 коментар: