четвер, 24 березня 2016 р.

ПЕРВІСНА, ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

І. ПЕРВІСНА до функції. ТАБЛИЦЯ ПЕРВІСНИХ. 
 

ПРАВИЛА ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРВІСНИХ.




1. Означення первісної.

Функцію F(х) називають первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку F'(х) = f(х).

Приклад. Для функції f(х) = 2х на інтервалі (-;+) первісною є функція F(х) = х2, оскільки кожного х з цього інтервалу виконується рівність 

2. Основна властивість первісних.

Повертаючись до прикладу попереднього пункта, можна зауважити, що наприклад функція F1(х) = х2 + 1 має ту саму похідну, що й функція F(х) = х2, дійсно (х2 + 1) = 2х. Тому функція F1(х) = х2+ 1 є також первісною для функції f(х) = 2х. Зрозуміло, що замість числа 1 можна поставити будь-яке інше число С, та матимемо (х2 +C) = 2х.
Приходимо до основної властивості первісної: кожна з первісних для функції f(x) на заданому проміжку має вигляд F(х) + С, де F(х) - одна з цих первісних, а С - довжина стала.

 
Графіки будь-яких первісних одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі ОУ.





3. Таблиця первісних.

Для знаходження первісних деяких функцій, корисною є таблиця первісних(невизначених інтегралів).
Функція f(x)
Загальний вигляд первісних F(х)+С , де С - довільна стала
0
С
1
х + С
xαα  -1
1/x
ln|х| + С
sin x
-сох + С
cos x
sіх + С
1/cos2 x
tg х + С
1/sin2 x
-ctg x + С
ex
ех + С
ax (a > 0; a  1)

Розглянемо приклади.
Приклад 1. Знайдіть усі первісні для функції:
Розв’язання. Використаємо те, що загальний вигляд первісних для функції xα має вигляд 
2) Оскільки
3) Оскільки
4) Маємо
Приклад 2. Для функції f(х) = sіn х знайдіть первісну, графік якоїпроходить через точку 
Розв’язання. Загальний вигляд первісних для функції f(х) = sіn х такий F(х) = -соs х + С.
За умовою графік шуканої первісної проходить через точку  Тому підставляємо π/3 замість х, а -1(1/2) замість F(х) у загальний вигляд первісної, матимемо
Отже, шукана первісна F1(x= - cos х - 1.

4. Правила знаходження первісних(невизначених інтегралів).

1) Якщо F - первісна для fa G - первісна для gто F G - первісна для f + g.
2) Якщо F - первісна для f, а k - стала, то kF - первісна для kf.
3) Нехай F(x- первісна для f(х), a k і b - деякі сталі, причому k ≠ 0. Тоді 1/k  F(kx b- первісна для функції f(kx b).

Розглянемо приклади використання цих правил.
Приклад 1. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:
Розв’язання.
1) Оскільки х5/5 первісна для х4a tg x - первісна для 1/cos2 x, то використовуючи правило 1, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:
2) Оскільки ех - первісна для ех, то використовуючи правило 2, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції F(х) = 7ех + С.
Приклад 2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функції 
Розв’язання. Для соs х однією з первісних є sin х. Використовуючи правило 3, матимемо загальний вигляд первісних для заданої функції:
Приклад 3. Для функції  знайдіть первісну F(x) таку,що F(12) = 3.
Розв’язання. Використовуючи правило 3 та той факт, що однією з первісних для функції х5 є x6/6 матимемо:
Оскільки F(12) = 3, то матимемо 
Отже,  - шукана первісна.

Приклади знаходження невизначених інтегралів:
Первісна. Інтеграл

ІІ. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. 
ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА.

Визначеним інтегралом від неперервної на [а;b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею b називають різницею F(b) -F(a), де F(x) - одна з первинних для функції f(x).
 Позначають визначений інтеграл так f(x)dx.



При обчисленні різниці F(b) F(а) можна брати будь-яку з первісних функцій f(х), що записуються в загальному вигляді F(x) + С. Але прийнято застосовувати ту первісну для якої С = 0.

За наведеним означенням маємо:

Цю формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца:

Розглянемо приклади знаходження визначених інтегралів.
Приклад 1. Обчисліть інтеграл sіn хdх.
Розв’язання. Для функції f(х) = sin х однією з первісних є F(х) = -cos х. Маємо за формулою Ньютона-Лейбніца
Приклад 2. Обчисліть інтеграл 
Розв’язання. Спочатку знайдемо первісну для функції f(х) = 2х +3х2 + 1. Використовуючи правила обчислення первісних та таблицю первісних, маємо:
Матимемо
Зауважимо, що при оформленні цього прикладу знаходження первісної можна було не записувати окремо. Тоді оформлення набуде наступного вигляду:
Приклад 3. Обчисліть інтеграл 
Розв’язання. Використаємо правило 3 знаходження первісних. Маємо

ІІІ. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ДО ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ КРИВОЛІНІЙНИХ ТРАПЕЦІЙ, ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР ТА ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ.

1. Означення криволінійної трапеції та знаходження її площі.

Нехай на відрізку [а;b] осі абсцис задано неперервну функцію у = f(x), яка на цьому відрізку набуває лише тільки невід’ємні значення. Фігуру, обмежену графіком функції у = =f(х), віссю абсцис та прямими х = а, х = b називають криволінійною трапецією (мал. 113). Її площу S можна знайти за допомогою визначеного інтеграла





Приклад 1. Обчисліть площу криволінійної трапеції, обчисленої графіком функції f(х) = х3 та прямими у = 0; х = 1; х = 2.
Розв’язання (мал. 114). Маємо


Приклад 2. Обчисліть площу криволінійної трапеції обмеженої графіком функції f(xsin х та прямими 
Розв’язання (мал. 115). Маємо

2. Обчислення площ плоских фігур. 

Розглянемо площу фігур зверху обмежену графіком функцій у = /(х), знизу - графіком функції у = f(х) та вертикальними прямими х = а і х = b, причому функції у = f(x) і у = g(х) - неперервні на [а;b] і для всіх значень х  [а;b] виконується нерівність f(x)  g(x) (мал. 116). Тоді площу S такої плоскої фігури можна знайти за формулою:


Приклад 1. Знайдіть площу фігури, обмежену графіками функцій у = соs х, у = -2 соs х та прямими x = 0 i x = π/6.
Розв’язання (мал. 117). Маємо
Підінтегральний вираз можна спростити. Отримаємо


Приклад 2. Знайдіть площу фігури, обмежену графіками функцій у = х2 - 2х і у = 4х + х.
Розв’язання. Знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій:х2 - 2х = 4 + х; х2 - 3х - 4 = 0; x1 = -1; x2 = 4.
Ординати точок перетину y1 = 3; у2 = 8. Зображуємо графіки функцій схематично (мал. 118).


Шукана площа

3. Обчислення об’єму тіла обертання.

Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком неперервної на [а;b] функції у = f(x), такою що f(х)  0 для кожного х  [а;b] та прямими у = 0; х = а; х = b, обертається навколо осі абсцис (мал. 119). Тоді об’єм утвореного тіла обертання можна знайти за формулою:


Приклад. Знайдіть об’єм тіла, отриманого обмеженням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = ; у = 0; x = 1; x = 4.
Розв’язання. Криволінійна трапеція, що обертається подана на малюнку 120. Об’єм утвореного тіла

4. Переміщення матеріальної точки, що рухається прямолінійно.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно зі швидкістю, що в кожний момент часу визначається за формулою υ = υ(t). Тоді за проміжок часу шлях S, який пройшла точка, визначається формулою:
Приклад. Матеріальна точка рухається прямолінійно з швидкістюυ(t) = 4 + 0,8t (м/с). Знайдіть шлях, який пройде точка за проміжок часу від t1 = 10с до t2 = 20 с.
Розв’язання. Маємо

5. Робота сили, що діє на матеріальну точку.

Нехай матеріальна точка рухається вздовж осі абсцис під дією сили, проекція якої на цю вісь - неперервана на [а;b] функція f(x). І нехай під дією цієї сили матеріальна точка переміщується з точки М(а) в точку N(b). Тоді роботу А цієї сили можна обчислити за формулою:
Приклад. Обчисліть роботу сили F при розтягу пружини на 0,1 м, якщо при розтягу пружини на 0,02 м потрібна сила 6Н.
Розв’язання. За законом Гука, сила F пропорційна розтягу (або стиску) пружини, тобто F = kх, де х - величина розтягу або стиску,k-постійна.
Оскільки при х = 0,02 м маємо F = 6Н, то можна знайти коефіцієнт  Отже F = 300x. Роботу А по розтягу пружини на 0,1 м знайдемо так


КОНТРОЛЬНИЙ ТЕСТ № 6.
 1. Знайти загальний вигляд первісної для функції: 




2. Для функції f(х) = соs х знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(π/2;-2).



3. Знайти загальний вигляд первісних для функції: 

4. Знайти загальний вигляд первісної для функції: 

5. Для функції f(х) = е-1 знайти таку первісну F(x), що F(0,5) = 3.

6. Обчислити інтеграл: х3dх.

7. Обчислити інтеграл: 

8. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої 
графіком функції у = х2 та прямими у = 0, х = 0, х = 6.

9. Знайти площу фігури, обмежену графіками функцій у = 2 sіn х, 
у = -sіn х та прямими x = 0, x = π/3.

10. Знайти об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями у , у = 0, х = 1, х= 4.

11. Обчислити інтеграл 

12. Знайти площу фігури, обмежену лініями у = 3 - х2 і у = 1 - х.


2 коментарі: