Рубрика "Опорні конспекти з математики"

Алгебра 11 кл.
2.1. ЗНАХОДЖЕННЯ НАЙБІЛЬШОГО І НАЙМЕНШОГО ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ НА ВІДРІЗКУ. 
Теорема Вейєрштрасса: неперервна на відрізку [a;b] функція має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.

Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [а;b] і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Схема знаходження найбільшого і найменшого значення функції у = f(x) на проміжку [a;b]:
1) Перевіряємо входження заданого проміжку в область визначення функції.
2) Знаходимо похідну f '(x).
3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення f(x), в яких f '(x) не існує та розв’язати рівняння f‘(x) = 0.
4) Вибираємо критичні точки, що належать проміжку [a;b].
5) Обчислюємо значення функції в вибраних критичних точках та в точках а і b.
6) Порівнюємо одержані значення та знаходимо найбільше та найменше значення функції у = f(x) на проміжку [a;b].
7) Відповідь.
Приклад. Знайдіть найбільше та найменше значення функції на проміжку [0;3].
Розв’язання.
1) D(f) = R, розглядуваний проміжок належить області визначення.

3) Похідна існує в усіх точках; розв’язки рівняння х2 + х - 2 = 0, тобто х1 = 1; х2 = -2 - критичні точки.

6) Отже, найбільше значення функції f(x) на заданому проміжку f(3) = 46, а найменше - f(1) = -6.
7) Це записують наступним чином: