Рубрика "Опорні конспекти з математики"

Алгебра 11 кл.

1. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВИ ЇХНІХ ГРАФІКІВ.

Схема дослідження функції у = f(х) та побудови ЇЇ графіка:

1) Знаходимо область визначення функції у = f(x).
2) Досліджуємо функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).
3) Знаходимо точки перетину функції у = f(x) з осями координат (якщо їх можна знайти).4) Знаходимо похідну f '(x) та критичні точки - значення х, при яких f '(x)=0.
5) Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму, екстремуми функцій і заносимо дані до таблиці.
6) Досліджуємо поведінку функції на кінцях проміжків області визначення (якщо можна дослідити).
7) Використовуючи отримані результати, будуємо графік функції або його ескіз.

Приклад 1. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Область визначення: D(f) = R.

 отже, функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Точка перетину з віссю Оу:

Точки перетину з віссю Ох: (розв’яжітьрівняння самостійно).

Отже, маємо точки перетину з осями координат: (0;-4), (2;0), (-2;0).

критичні точки х1 = 0; х2= 1; х3= -1.

5) Складаємо таблицю, у якій позначаємо проміжки зростання, проміжки спадання та критичні точки:

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		-4,5		-4		-4,5
Висновок	спадає	min	зростає	mах	спадає	mіn	зростає

В таблиці наведено також висновки про критичні точки (чи є вони точками максимуму чи точками мінімуму).

6) Оскільки D(f) = R, то немає кінців області визначення і графік -- нескінченна крива.

7) Будуємо графік функції використовуючи результати дослідження - малюнок 105.

Побудова графіка функцій (або його ескізу) допомагає при розв’язуванні деяких задач, пов’язаних із знаходженням коренів рівняння (їхньої кількості, найближчих значень тощо).
Приклад 2 (з параметром а). 1) Дослідіть функцію f(х) = (х - 3) та побудуйте ескіз її графіка. 2) Скільки коренів має рівняння (х - 3) = а   залежно від значення параметра а?
Розв’язання:
1) D(f) = [0;+∞).
2) Функція ні парна, ні непарна, оскільки її область визначення не симетрична відносно нуля.
3) Точка перетину з віссю Оу: х = 0; у = 0. Точки перетину з віссю Ох: у = 0; (х – 3) = 0 ; х1 = 3; х2 = 0.

х = 1 - критична точка.
5) Складаємо таблицю:

X	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	не існує	-	+	+
f(x)	0		-2
Висновок	Точка належить графіку	Функція спадає	mіn	Функція зростає

6) Точка (0;0) належить графіку функції.
7) Ескіз графіка показано на малюнку 106.

ІІ спосіб розв’язування. Будемо розв’язувати рівняння (х - 3) = а графічно. Для цього будуємо графіки функцій f(х) = (х - 3) та у = а, а - число (мал. 106а). Для різних значень а кількість коренів рівняння буде різною.

Якщо а = -2, то графіки перетинаються в одній точці, а тому розглядуване рівняння має один корінь. Якщо -2 < а ≤ 0, то графіки перетинаються в двох точках, а тому розглядуване рівняння має два кореня. Якщо ж а > 0, то графіки перетинаються в одній точці, і рівняння має один корінь.

Відповідь: якщо а = -2 або а > 0, то рівняння має один корінь, якщо -2 < а ≤ 0, то рівняння має два корені.