Творчість – це найбільша насолода для розумної людини…
Андрій Конфорович
Технологія розвитку критичного мислення
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДЕЯКИХ ТИПІВ ТЕКСТОВИХ ЗАДАЧ
1. Задачі на пропорційний поділ
№ 2.1.1. (8 кл.) Поділіть число 219 на три частини а, в, с так, щоб а:в= 4:9, в:с=15:2⅔.
Розв'язання. Дві пропорційні рівності підпишемо одна під одною таким чином, щоб в було під в:
а:в = 4:9
в:с = 15:2⅔.
і отримаємо 9 під 15. Для запису потрійного пропорційного відношення а:в:с треба знайти найменше спільне кратне чисел 9 і 15, це 45. Тому праву частину першої пропорції множимо на 5 ( = 45:9), а другої пропорції – на 3 (=45:15) . Тоді запишемо такий вираз а:в:с = 20:45:8. Ввівши коефіцієнт пропорційності х, запишемо короткий запис умови задачі, по якому легко читається рівняння:
а – 20 х
в – 45 х 219
с – 8 х
1)20х + 45х + 8х = 219
73х = 219
х = 219 : 73
х = 3
2) 20 · 3 = 60, а – перша частина числа,
3) 45 · 3 = 135, в – друга частина,
4) 8 · 3 = 24, с – третя частина.
Відповідь: а =60, в = 135, с = 24.
№ 2.1.2. (6 кл.) Один бізнесмен виділив 560 000 доларів своїй дружині і майбутній дитині за такої умови: народиться син – він отримає грошей удвічі більше від матері; дочка – мати отримає удвічі більше від дочки. Народилися близнята – син і дочка. Як поділили гроші?
Розв'язання. Позначимо за х найменшу кількість грошей – доччину.
Син – 4х
Мати – 2х 560 000 доларів
Дочка – х
- 4х + 2х + х = 560 000
7х = 560 000
х = 80 000 (дол) – дочці,
- 4 · 80 000 = 320 000 (дол) – сину,
- 2 · 80 000 = 160 000 (дол) – матері.
Перевірка: 80 000 + 320 000 + 160 000 = 560 000
Відповідь: сину – 320 000, матері – 160 000, а дочці – 80 000 доларів.
2. Задачі на змішування розчинів
2. Задачі на змішування розчинів
Як правило, концентрація певної речовини виражається у сотих долях одиниці, тобто у відсотках. Склад певного дорогоцінного метала у сплаві з домішками позначають числом тисячних частин одиниці і називають пробою. Наприклад, якщо говорять про золото 595-ї проби, то мають на увазі, що у кожних 1000г такого «золота» є тільки 595г чистого золота.
Переважна більшість задач на змішування розв’язується складанням пропорцій або систем рівнянь, але існує старовинний «спосіб павука», знайдений мною у «Старинных занимательных задачах»
С. Олехника, про який розкажу на прикладі такої задачі:
№ 2.2.1. У яких пропорціях треба змішати розчини 50%-ї і 70%-ї кислот, щоб отримати розчин 65%-ї кислоти?
Розв'язання. Для розв’язання цієї задачі намалюю схему:
50 5
65
70 15
У першому стовпчику схеми є відповідні концентрації початкових кислот, посередині – та концентрація, яку треба отримати, а щоб записати цифри у правому стовпчику, треба, рухаючись по діагоналі, знайти модуль різниць початкових концентрацій і потрібної: |50-65|=15, а |70-65|=5.
Таким чином, І розчину треба 5 частин і ІІ розчину – 15 частин, або відповідно 1 : 3.
Таким способом в давнину купці розв’язували свої практичні задачі на сплави дорогоцінних металів, на суміші чаїв та східних прянощів…
№ 2.2.2. В яких пропорціях треба сплавити золото 357-ї проби з золотом 750-ї проби, щоб отримати золото 500-ї проби?
Розв'язання. Складемо схему «павука» :
375 250
500
750 125, зрозуміло, що шукане відношення 250125= 21 .
Відповідь: треба взяти на 2 частини золота 375-ї проби 1 частину золота 750-ї проби.
Наведу порівняльну характеристику стандартного і нестандартного способів розв’язання на прикладі задачі із збірника завдань для ДПА за 9 кл.
№ 2.2.3. Маємо два сплави міді і цинку. Перший сплав містить 9%, а другий - 30% цинку. Скільки треба взяти кілограмів першого сплаву і скільки кілограмів другого, щоб отримати сплав масою 300 кг, що містить 23 % цинку?
Розв’яжемо цю задачу традиційним способом – складанням системи рівнянь, якщо позначимо за х масу 9%-го сплаву, а за у – масу 30%-го.
{х+у=300 0,09 ·х+ 0,3 · у=0,23 ·300 <=>
За способом підстановки з І рівняння вирахуємо, що х = 300 – у і замість х у ІІ рівнянні підставимо 300 – у .
{х = 300 – у 0,09 (300 – у)+ 0,3у = 69 ⃒·100 <=>
Розв’яжемо отримане рівняння відносно у:
9 (300 – у ) + 30у = 6900
2700 – 9у +30у = 6900
21у = 6900 – 2700
21у = 4200
у = 200 (г) - маса ІІ сплаву, і отримаю таку систему :
{х= 300 – 200 у = 200 <=> {х=100 у=200
Відповідь: маса 9%-го сплаву – 100 кг, маса 30%-го сплаву – 200 кг.
А тепер – для порівняння – застосуємо «метод павука».
30% 14
23%
9% 7
Сума пропорційних частин сплавів 14 + 7 = 21, знайдемо їх маси:
714+7·300= 721 ·300=100 (кг) - маса 9%-го сплаву,
1414+7·300= 1421 ·300=200 (кг)- маса 30%-го сплаву.
Іноді, в тестах ЗНО просять у відповідь записати відношення маси важчого сплаву до легшого. В такому випадку навіть не потрібно обчислювати маси сплавів, а достатньо знайти відношення 14 до 7, тобто 2.
Не можливо не погодитися, що розв’язання таких задач за «методом павука» набагато швидше і раціональніше.
№ 2.2.4. (тести ЗНО) Є сталь двох сортів: зі змістом нікелю 5% і 40%. Скільки сталі кожного сорту треба взяти, щоб після переплавки одержати 140 т сталі зі змістом нікелю 30%. У відповідь запишіть відношення більшої кількості до меншої.
Розв'язання.
5 
10
30
40 25
Таким чином, шукане відношення 25 : 10 = 2,5 : 1.
Відповідь: у відношенні 2,5 : 1, тобто 2,5.
Іноді в задачах на змішування до розчину добавляють або чисту воду, або концентрат розчиненої речовини. Тоді зручно скласти таблицю.
№ 2.2.5. Скільки грам води потрібно добавити до 40 г 25%-го розчину сірчаної кислоти, щоб отриманим 10%-й розчин?
Розв'язання. Нехай потрібно додати х г води. Складу таблицю з характеристиками розчинів:
Розчини
|
Маса, г
|
Вміст сірчаної кислоти
|
І
|
40
|
40 · 0,25
|
ІІ
|
40 + х
|
40 · 0,25
|
За таблицею отримаємо рівняння:
40 · 0,25 = (40 + х) · 0,1
40 + х = 100
х = 60 (г) – води.
Відповідь: 60 грам води потрібно добавити .
№ 2.2.6. У сплаві міді і олова масою 12 кг міститься 45% міді. Скільки олова потрібно додати до цього сплаву, щоб у ньому було 40% міді?
Розв'язання. Складу таблицю, взявши за х масу олова:
Сплави
|
Маса, г
|
Вміст міді
|
Початковий
|
12
|
12 · 0,45
|
Новий
|
12 + х
|
12 · 0,45
|
0,4 (12 + х) = 12 · 0,45
0,48 + 0,4х = 5,4
0,4х = 0,6
х = 1,5 (г)
Відповідь: 1,5 грам олова потрібно додати до цього сплаву.
3. Комбіновані задачі на рух і спільну роботу
Комбіновані задачі на рух – це задачі, в яких тіла певну частину часу рухаються в одному напрямі, а іншу частину – назустріч один одному, або мають інші умови руху. Усі такі задачі належать до задач середньої або підвищеної складності.
У деяких учнів комбіновані задачі на рух і на роботу (і на заповнення басейнів водою також) викликають острах або, принаймні, сумну посмішку при намаганні скласти пояснення задачі. А невпевнені пояснення умови задачі рідко ведуть до успішного результату. Причина цього, на мій погляд, полягає у недостатньому вмінні «розкласти задачу по поличкам». Справа в тому, що переважна більшість таких задач підкоряється практично одній формулі руху:
S = V· t , де S - шлях , V - швидкість, t – час.
Цікаво, що і « робота = швидкість роботи · час», часто швидкість роботи називають ще і продуктивністю.
Тому при розв’язуванні таких задач зручніше користуватися табличкою, у верхньому рядку якої міститься вищезгадана формула руху з вказаними одиницями виміру величин.
Умови руху
|
V , км / год
|
· t , год
|
= S , км
|
Коротку умову задачі занесемо у два нижніх рядка таблиці , позначивши невідоме за х. А у вільні клітини (комірки) таблиці вношу інформацію таким чином, щоб зберігався зміст формули руху або зміст тих формул, які з неї випливають, наприклад :
V = S : t (швидкість = шлях : час) і t = S : V (час = шлях : швидкість).
У заповненій таблиці дуже добре видно рівняння, при розв’язанні якого можна дати відповідь на запитання задачі. Цікаво, що при розв’язуванні задач на роботу замість шляху S запишемо робота, яку позначаємо одиницею у випадку відсутності конкретної кількості, наприклад, деталей.
Почнемо із найпростіших задач.
№ 2.3.1. (Збірник завдань для ДПА 9 кл.) Відстань між двома містами річкою 80 км. На подолання цієї відстані туди і назад катер витрачає 9 годин. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки 2 км / год.
Розв'язання. Зрозуміло, що за х позначаємо швидкість катера (х≠0,
х ≠ ±2), і всю інформацію послідовно і відповідно до умови задачі занесемо в таблицю:
Умови руху
|
V , км / год
|
t , год
|
S , км
| |
За течією
|
х + 2
|
80х+2
|
9
|
80
|
Проти течії
|
х - 2
|
80х-2
|
80
| |
Утворене в таблиці рівняння розв’яжемо звичайним способом:
80х+2+ 80х-2=9
80 ((х-2)+(х+2))(х-2)·(х+2)=9
80 ·2хx2-4= 9 ·(x2-4)x2-4
160х = 9x2- 36
9x2- 160х-36=0
х=160±1602+4·9·362·9= 160±16418
х1=-29 (не задовольняє умові задачі)
х2=18 (км / год) – V катера.
Відповідь: власна швидкість катера 18 км/год.
№ 2.3.2. (9 кл.) З пунктів А і В одночасно назустріч один одному вирушили велосипедист і пішохід, які зустрілися через 1 год після початку руху. Знайдіть швидкість кожного із низ, якщо велосипедист прибув у пункт В на 2год 40 хв раніше, ніж пішохід у пункт А, а відстань між цими пунктами становить 16км.
Розв'язання. Позначимо швидкість руху пішохода за х, і заповнимо таблицю,
використавши формулу часу t = S : V і те,
що 2 год 40 хв = 24060=16060=83.
Учасники
руху
|
V , км / год
|
t , год
|
S , км
| |
Велосипедист
|
16 - х
|
1616-х
|
83
|
16
|
Пішохід
|
х
|
16х
|
16
| |
Зазначимо: якщо велосипедист прибув у пункт В на 2год 40хв раніше, ніж пішохід у пункт А, то час пішохода був на 2год 40хв більшим, ніж у велосипедиста. Тому стрілою в таблиці позначаємо різницю між більшим і меншим часом.
Утворене в таблиці рівняння розв’яжемо звичайним способом, при умові, що х ≠ 0 і х ≠ 16:
16х-1616-х= 83 /:8
2х-216-х= 13
32-2х-2хх(16-х)=13
16х - х2 = 3 · (32 - 4х )
х2 – 16х + 96 – 12х = 0
х2 - 28х + 96 = 0
За теоремою Вієта отримаємо: х1= 24 (не задовольняє умову задачі), а х2=4 (км/год) – швидкість пішохода,
тоді 16 – 4 = 12 (км/год) – швидкість велосипедиста.
Відповідь: 4 км/год – швидкість пішохода, а 12 км/год – швидкість велосипедиста.
Задачі на спільну роботу розв’язуються подібно до задач на рух, бо якщо шлях дорівнює добутку швидкості руху на його час, то і виконана робота дорівнює добутку продуктивності (швидкості роботи) на витрачений час. Легко розв’язувати такі задачі подібно до задач на рух, записуючи коротку умову в вищезазначену таблицю.
№ 2.3.3. (Збірник завдань для ДПА 9 кл.)
Один із мулярів витрачає на виконання кладки на 5год більше, ніж другий. Знайдіть час, який потрібен кожному муляру окремо для цієї ладки, якщо вони, працюючи разом, можуть її зробити за 6 год.
Розв'язання. Позначимо за х менший час – час ІІ муляра, і складемо таблицю при умові, що х ≠ - 5 .
Робітники
|
V,робота/год
|
t , год
|
Робота
| |
І муляр
|
1х+5
|
16
|
х + 5
|
1
|
ІІ муляр
|
1х
|
х
|
1
|
- 1х+5+ 1х= 16
х+х+5х(х+5)= 16
6 · (2х + 5) = х (х + 5)
х2 - 7х – 30 = 0
За теоремою Вієта, х1 = - 3 (не задовольняє умові задачі),
х2 =10 (год) – час ІІ муляра,
- 10 + 5 = 15 (год) – час І муляра.
Відповідь: І муляру потрібно 15 годин, а ІІ – 10 годин.
№ 2.3.4. (Збірник завдань для ДПА 9 кл.)
Дві друкарки, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 2 год 24 хв. Знайдіть час, який потрібен кожній друкарці для виконання цієї роботи окремо, якщо половину роботи ІІ друкарка виконує на 1 год швидше, ніж І.
Розв'язання. Позначимо час роботи І друкарки за х і заповнимо таблицю, враховуючи, що швидкість роботи V = S : t і 2 год 24хв=22460=14460, а 1:14460= 60144.
Друкарки
|
V, робота/год
|
t , год
|
Робота
| |
І
|
1х
|
60144
|
х
|
1
|
ІІ
|
12(х-1)
|
х-1
|
12
| |
Розв’яжемо рівняння при умові, що х ≠ 0 і х ≠ -1 :
1х+12(х-1)= 60144
2(х-1)+х2х(х-1)=512
3х-22х(х-1)=512
12 (3х – 2 ) = 10 х (х - 1)
36 х – 24 = 10 х2 – 10 х
10 х2 – 46 х + 24 = 0 ⃒ : 5
5 х2 – 23 х + 12 = 0
х= 23±232-4 ·5 ·122 ·5= 23±1710
х1 = 4 (год) – час І друкарки, тоді 4 – 1 = 3 (год) – час ІІ друкарки.
х2 = 0,3 (не за задовольняє умові задачі)
Відповідь: 4 години і 3 години.
№ 2.3.5. Увесь басейн наповнюється водою через І трубу за 20 хвилин, а через ІІ – за 30 хвилин. Через скільки хвилин буде наповнений увесь басейн, якщо одночасно відкрити обидві труби?
Розв'язання. Позначимо за х час наповнення басейну обома трубами (х ≠ 0), і заповнимо таблицю, враховуючи, що швидкість наповнення басейна обернено пропорційна часу.
Труби
|
V, басейн / хв
|
t, хв
|
Басейн
| |
І
|
120
| 1х |
20
|
1
|
ІІ
|
130
|
30
|
1
| |
120+ 130= 1х
3+260= 1х
5х = 60
х = 12 (хв)
Відповідь: увесь басейн буде наповнений через 12 хвилин.
4. Задачі на прогресії і послідовності
4. Задачі на прогресії і послідовності
Задачі на зростаючі і спадні арифметичні і геометричні прогресії надзвичайно популярні не тільки зараз (в курсі середньої школи). Дуже часто зустрічаються вони як в сучасному житті, так і в легендах, в історичних згадках про суперечки і грошові нагороди .
Тому дуже легко викликати у дітей інтерес до таких задач внесенням ігрових інсценізованих моментів на тему старовинних казок.
Широко відома індійська легенда про винагороду зернами, що вмістяться на клітках шахової дошки, якої зажадав у царя Шерама винахідник шахів Сето.
Цар був ображений мізерністю винагороди, а насправді виявилося, що потрібно було б віддати 18 446 744 073 709 551615 зерен. Якщо висота комори 4 м і ширина 10 м, то довжина її повинна становити 300 000 000 км, щоб вмістити таку кількість зерна.
№ 2.4.2. Задача із «Арифметики» М. П. Магніцького
Дехто продав коня за 156 крб. Однак покупець, придбавши коня, передумав його купувати і повернув продавцеві, кажучи:
— Немає рації мені купувати за цю ціну коня, бо він таких грошей не вартий.
Тоді продавець запропонував інші умови:
—Якщо, на твою думку, ціна коня надто велика, то купи лише цвяхи, що у його підковах, а коня дістанеш тоді на додачу безплатно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях дай мені лише чверть копійки, за другий — половину копійки, за третій – 1 копійку і т. д.
Покупець, спокушений низькою ціною, бажаючи даром дістати коня, прийняв умови продавця, розраховуючи, що за цвяхи доведеться заплатити не більше як 10 карбованців. Скільки повинен заплатити покупець?
Розв’язання. За цвяхи у підковах довелося заплатити:
14+ 12+1+2+22+ 23+…+224-3 копійок.
Це дорівнює 2 221- 14 2-1 = 222— 14 = 4 193 303 34 копійок,
тобто близько 42 тисяч крб. За таких умов варто коня дати на додачу.
№ 2.4.3. Підступний заповіт. Французька графиня Елізабет – Анжеліка де Боутвіль овдовіла в 20 років. Її люблячий чоловік — губернатор Сенліса залишив такий заповіт: за перший рік після його смерті вдові має виплачуватися 1 золота монета, а якщо вона не вийде знову заміж, кожного наступного року вона має одержувати вдвічі більше, ніж попереднього. Графиня прожила ще 69 років і не вийшла знову заміж. На яку суму грошей вона отримала право?
Відповідь: на суму 147 573 952 314 798 506 112 золотих монет.
Такої суми грошей не існує у всіх банках світу.
№ 2.4.1. Задача Джемшида ібн Масуда Ал – Коші . (тести ЗНО)
Двоє одночасно пішли від однієї точки у протилежних напрямках берегом озера. Перший проходив щодня 10 миль, а другий пройшов за І день 1 милю, проте кожного наступного він проходив на 1 милю більше, ніж попереднього. Коли вони знову зустрілися, то виявилося, що перший пройшов 16 , а другий – 56 довжини берега. Скільки днів пройшло до часу їхньої зустрічі?
Розв'язання. Нехай х – кількість днів, витрачених на шлях, тоді за кожен наступний день ІІ чоловік проходив ах = а1 + d(х - 1), де а1= 1, d = 1 і за формулою суми членів арифметичної прогресії його шлях становив
Sх= 1+1+1(х-1)2 ·х=х+12 ·х
І пройшов 10х = 16 , а ІІ пройшов х+12 · х = 56 , що у 5 разів більше, звідси рівняння: х+12 · х = 5 · 10 · х
х (х+1) = 100х
х2 + х –100х = 0
х2 – 99х = 0,
х1 = 0 (не за задовольняє умові задачі),
х2 = 99 (днів)
Відповідь: 99 днів пройшло до часу їхньої зустрічі.
Дякую за цікаву підбірку задач
ВідповістиВидалитиДЯКУЮ
ВідповістиВидалити