Комбінація конуса і піраміди.

Приклади задач з розв'язками

№1. Навколо правильної трикутної піраміди описано конус. Знайти площу бічної поверхні конуса, якщо сторона основи піраміди дорівнює , а бічні ребра нахилені до основи під кутом .

Розв’язання.

Зауваження. Для розв’язання задачі малювати конус немає потреби: достатньо розглянути піраміду.

Нехай навколко піраміди описано конус. За умовою , , –висота піраміди.

Оскільки всі ребра піраміди рівно нахилені до площини основи, то
точка є центром описаного кола навколо , тобто – центр основи конуса, а відрізки – твірні конуса, , де – радіус основи конуса.

Відомо, що для рівностороннього трикутника виконується (1)

Розглянемо прямокутний :

(2)

Бічну поверхню конуса обчислимо за формулою

.

З рівностей (1) та (2), маємо .

Відповідь: .


№2. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого , а кут при основі . Бічні грані нахилено до основи під кутом . Знайти площу бічної поверхні вписаного в піраміду конуса.
Розв’язання.

Нехай в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник , в якому .

Опустимо з вершини перпендикуляр на площину основи піраміди та вписаного конуса.

Побудуємо кут нахилу бічної грані до основи. Проведемо , тоді за теоремою про три перпендикуляри , отже за означенням .

Оскільки всі бічні грані піраміди рівнонахилені до основи, то точка є центром вписаного кола в , тобто центром основи конуса, – радіус основи конуса, – твірна конуса.

Розглянемо основу піраміди.

З прямокутного знайдемо :

.

Оскільки – бісектриса (т. – точка перетину бісектрис), то , то

(1)

З маємо : (2)

Площа бічної поверхні конуса з (1) та (2)

,

.

Відповідь: .

Тренувальні вправи

№1. У правильній трикутній піраміді основи дорівнюють , а плоский кут при вершині . Визначити площу бічної поверхні конуса, вписаного в піраміду.
Відповідь до завдання: .

№2. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайти повну поверхню вписаного конуса, якщо площа основи піраміди .
Відповідь до завдання: .

№3. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Визначити площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота .
Відповідь до завдання:

№4. В конус вписано піраміду , основою якої є трапеція . Відомо, що , , ( і – основи трапеції), висота піраміди . Знайти площу бічної поверхні конуса.
Відповідь до завдання: . 


Для довідки:

Ще про піраміди читай тут.