Цікаві задачі до теми "ПОДІЛЬНІСТЬ І ОСТАЧІ"

1. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділить­ся на 6.

Розв'язання
Серед трьох послідовних натуральних чисел одне ділиться на 3 і при­наймні одне парне. Оскільки числа 2 і 3 взаємно прості, то добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 2 ∙ 3 = 6.

2. Дано р — просте число. Скільки існує натуральних чисел: а) менших за р і взаємно простих з ним; б) менших за p² і взаємно простих з ним?

Розв'язання

а) Оскільки число р має тільки два дільники: 1 і р, то кожне натуральне число має тільки один спільний дільник із числом р — це число 1. 

Отже, всі числа, менші від р, взаємно прості з р, тому таких чисел р – 1.

б) Кожне число, менше за р² і не кратне р, не може мати з числом р² інших спільних дільників, крім 1. Тому чисел, менших за р² і взаємно-простих з ним, має бути р² – 1 – (p – 1) = p² – р. (Тут р – 1 — кількість чисел, кратних р і менших від р².)

3. Яке існує найменше натуральне п, якщо п! (п факторіал) ділиться на 990?

Розв'язання
990 ділиться на 11 тому, якщо n! ділиться на 990, то n! повинно діли­тися на просте число 11. Якщо n < 11, то n! не ділиться на 11. Очевидно, що 11! ділиться на 9, на 10 і на 11. А оскільки ці числа взаємно прості, то 11! ділиться на 990. Отже, шукане значення n = 11, оскільки двозначні числа, що діляться на 11, записуються однаковими цифрами.