Монотонність функції. Проміжки знакосталості і нулі функції

Монотонність функції

Функція називається зростаючою на даному числовому проміжку Х, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції , тобто для будь-яких з



Функція називається спадною на даному числовому проміжку Х, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції , тобто для будь-яких з



Функція, тільки зростаюча або тільки спадна на даному числовому проміжку, називається монотонною на цьому проміжку.

Прикладами монотонно зростаючих функцій є: , , . 

Прикладами монотонно спадних – , , .

 А, наприклад, функція не є монотонною на всій області визначення, оскільки при

вона є спадною, а при – зростаючою.

Приклад 1. Дослідити на монотонність функцію:

а) ;

б) , .

Розв’язання

а) Функція зростає на всій області визначення. Дійсно, . Нехай , тоді , отже .

б) Функція , спадає. Дійсно, нехай . Маємо



, отже, .

 Проміжки знакосталості і нулі функції

Числові проміжки, на яких функція зберігає свій знак (тобто залишається додатною або від’ємною), називаються проміжками знакосталості функції. 

Наприклад, для функції , при і при .

Значення аргументу , при яких функція , називаються нулями (або коренями) функції. Зрозуміло, що значення аргументу, при яких функція перетворюється в нуль, – це абсциси точок перетину графіка функції з віссю 0х.


Лінійна функція, її властивості

Функція, задана формулою , де k і b – дійсні числа, називається лінійною.

Основні властивості функції

1. , тобто вираз має зміст при будь-якому значенні х.

2. .

3. Функція є функцією загального виду, тобто не є ні парною, ні непарною. Замінимо на : , тобто . Як видно, та .

4. При функція приймає вигляд і називається прямою пропорційністю. Число називається коефіцієнтом пропорційності. Пряма пропорційність характеризується властивістю: «із збільшенням (зменшенням) значення х в декілька разів відповідне значення збільшується (зменшується) у стільки ж разів», тобто .

Функція є непарною. Її графік проходить через точку і являє собою пряму лінію.

5. Графік лінійної функції може бути отриманий з графіка функції паралельним перенесенням останнього на одиниць вздовж осі 0y. І оскільки графіком є пряма, то і графік функції є пряма лінія. Вона перетинає вісь 0y в точці , і нахилена до осі 0х під кутом , тангенс якого дорівнює , тобто . Якщо , то – гострий кут, якщо , то – тупий кут (рис. 4).