Модуль дійсного числа та його властивості. Рівняння і нерівності з модулем

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від'ємного числа називається число, протилежне даному, модуль нуля дорівнює нулю.

Модуль числа α позначається символом |а| і читається «модуль числа а».
Згідно з означенням:

,

Виконання вправ

1. Знайдіть модулі чисел:

а) -;       б) -1;     в) 1- ;      г) 2- ()2. 

Відповідь: а) ;       б) -1;    в) -1;    г) 0.

2. Запишіть вирази без знака модуля: 

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 2-; б)-1; в) sin 3; г) lg 5.

3. Запишіть вирази, без знака модуля:

а) х + ;      б) - х;      в) х - ;       г) .

Відповідь: а) б) в) г)

 Геометричний зміст модуля:
числа є відстань від початку координат до точки,
що зображає дане число (рис. 1) на координатній прямій.
Дійсно, якщо а > 0, то відстань ОА дорівнює а.
Якщо b < 0, то відстань 0В дорівнює -b.

 Теорема Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точками,
які є зображеннями чисел на координатній прямій.

Доведення 

Візьмемо числа a і b. Позначимо на координатній прямій числа а, b,
а — b через А, В, С (рис. 2). При паралельному перенесенні
вздовж осі х на b, точка О перейде в точку В, а точка С — в точку А,
тобто ОС=АВ. Оскільки за означенням модуля ОС=, то АВ= ,
що і треба було довести.

Прості рівняння і нерівності з модулем зручно розв'язувати
використовуючи геометричний зміст модуля. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння |х| = 5.

Розв'язання 

Співвідношення |х| = 5 геометричне означає, що відстань від точки х
до початку координат дорівнює 5, тобто х = 5 або х = -5. Відповідь: ±5.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння |х + 3| = 2.

Розв'язання

Перепишемо співвідношення |х + 3| = 2 у вигляді |х - (-3)| = 2,
яке геометрична означає, що відстань від точки -3 до точки х дорівнює 2.
Відклавши від точки -3 на координатній прямій відрізок довжиною 2
(вправо і вліво), одержимо х = -1 або х = -5. 

Відповідь: -1; -5.

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність |х - 3| < 2.

Розв'язання

Розв'язати нерівність |х - 3| < 2 геометричне означає: знайти точки х,
відстань від яких до точки 3 не перевищує 2. На відстані 2 від точки З
знаходяться точки 1 і 5 (рис. 3). Отже, 1 х 5. 

Відповідь: 1 х 5.

Приклад 4. Розв'яжіть нерівність |2х + 1| 3 .

Розв'язання

Перепишемо нерівність |2х + 1| 3 у вигляді     |2х – (- 1)| 3 ,
яка геометрично означає, що відстань від точки 2х  до точки  -1
не менша 3 (рис. 4). На відстані 3 від точки -1 знаходяться точки 2 і - 4.
Таким чином, 2х 2 або 2х - 4,

звідси х 1 або х -2. 

Відповідь: х 1 або х -2.

Виконання вправ

1. Розв'яжіть рівняння:

а) |х – 1| = 2;         б) |х + 3| = 1;    в) |2х + 1| = 3;      г) |2х – 3| = 9. 

Відповідь: а) -1; 3;     б) -2; -4; в) 1; -2;    г) -3; 6.

2. Розв'яжіть нерівності:

а) |х + 2| > 2;         б) |2 – х| > 3;     в) |2х – 3| < 5;       г) |1 + 2х| < 1. 

Відповідь: а) х < -4 або х > 0;    б) х < -1 або х > 5;  в) -1 < х < 4;     г) -1 < х < 0.

3. Множину чисел, зображених на рис. 5, запишіть у вигляді нерівності,
що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х| < 1;    б) |х| < 2;   в) |х – 3| < 3; г) |х + 2| < 2. 

4. Множину чисел, зображених на рис. 6, запишіть у вигляді нерівності,
що містить знак модуля.

Відповідь: а) |х| 1;    б) |х| > 3;   в) |х + 2| 1; г) |х + 4| > 1.

5. Розв'яжіть рівняння:

а) ||х| – 1| = 2;    б) ||х| – 4| = 1;   в) ||х – 1| – 1| = 2;   г) ||х + 1| + 1| = 2. 

Відповідь: а) ±3;       б) ±3; ±5; в) -2; 4;    г) 0; -2.

6. Розв'яжіть нерівність:

а) ||х| - 2| 1;      б) ||х| - 5| 2;     в) ||х + 1| + 1| 3.

Відповідь: а) -3 х -1 або 1 х 3;  б) -7 х -3 або 3 х 7; в) -3 х 1.

Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсного числа,
можна сформулювати такі його властивості.

1. Модуль дійсного числа — невід’ємне число, тобто |а| 0.

2. Модулі протилежних чисел рівні: |а| =|-а|.

3. Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників: |аb| = |а · b|.

Дійсно, якщо а і b — числа однакових знаків, то ab > 0 і |аb| = |а| · |b|.

Якщо α і b — числа, які мають різні знаки, то ab < 0 і |аb| = = -ab.
З другого боку |а|·|b| = - ab. Отже, |аb| = |а|•|b|.

4. Квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа: |а|2 = а2.

5. Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль
знаменника (якщо. модуль знаменника не дорівнює нулю):
Дійсно, оскільки а = ·b, то за властивістю 3 маємо: ,
звідки .

6. Модуль суми не перевищує суми модулів доданків: |а + b| |a| +|b|.

Оскільки -|a| а |a| і -|b| b |b|, то, додавши почленно ці нерівності, одержимо 

-|а| - |b| а + b |а| + |b|, або

-(|а| + |b|) а + b |а| + |b|,

що означає |a + b| |а| + |b|.

Рівняння з модулями

1. Рівняння |f(x)| = | g(x)| рівносильне об'єднанню рівнянь:

f(x) = g(x) та f(x) = -g(x).

Приклад. Розв'яжіть рівняння: |х|= |4 - х|.

Розв'язання

Рівняння |х| = |4 - х| рівносильне рівнянням x = 4 - x та x = -4 + x. Тоді

1) x = 4 - x; 2x = 4; x = 2.

2) x = - 4 + x; Οx = -4; розв'язків немає. 

Відповідь: 2.

2. Рівняння |f(x)| = g(x) рівносильне двом системам: 

та

Приклад. Розв'яжіть рівняння |х2 – х – 8| = – х.

Розв'язання 

Рівняння |х2 – х – 8| = – х рівносильне системам

Відповідь: -2; 2. 

3. Приклад. Розв'яжіть рівняння |х + 1| + |х – 2| = 3.

Розв'язання

Вирази х + 1 і х – 2 дорівнюють нулю відповідно при 

х = – 1 і х = 2. Тому розглянемо такі три випадки (рис. 7).

І) Знайдемо всі розв'язки рівняння, які задовольняють умову х– 1.

Якщо х –1, то х + 1 0, х – 2 0 і дане рівняння має вигляд: 

- х - 1 - х + 2 = 3;   -2х + 1 = 3;    -2х = 2;    х = -1.

II) Якщо -1 < х 2, то |х + 1| = х + 1, |х – 2| = – х + 2 і дане рівняння
набирає вигляду: х + 1 – х + 2 = 3;  0х +3 = 3; 0х = 0.
Розв'язком цього рівняння є довільне число з проміжку -1 < х < 2.

IІІ) Якщо х > 2, то |х + 1| = х + 1, |х – 2| = х – 2 і дане рівняння набирає вигляду: 

х + 1 + х – 2 = 3;  2х – 1 = 3;  2х = 4;  х = 2 — не входить в проміжок х > 2.

Отже, дане рівняння має корені -1 х 2.

Відповідь: -1 х 2.

Нерівності з модулем

1. Нерівність |f(x)| < g(x) рівносильна системі
2. або подвійній нерівності     - g(x) < f(x) < g(x).

Приклад. Розв'яжіть нерівність |х2 + 5x| < 6.

Розв'язання:

Нерівність |х2 + 5х| < 6 рівносильна подвійній нерівності – 6 < х2 + 5x < 6, тобто системі

Відповідь: (-6; - 3) (-2; 1). 

2. Нерівність |f(x)| > g(x) рівносильна двом нерівностям: f(x) > g(x) та f(x) < -g(x).

Приклад. Розв'яжіть нерівність |3х - 2| > 2х + 1.

Розв'язання

Нерівність |3х - 2| > 2х + 1 рівносильна об'єднанню двох нерівностей: 

3х - 2 > 2х + 1 та 3х - 2 < - 2х - 1.

1) 3х - 2 > 2х + 1;  х > 3.

2) 3х - 2 < -2х - 1;  5х < 1; х < .

Отже, дана нерівність має розв'язок х е .

 Відповідь: .

3. Нерівність |f(x)| > |g(x)| рівносильна нерівності f2(x) > g2(x}·

Приклад. Розв'яжіть нерівність |3 + x| |x|.

Розв'язання

|3 + х| |х|;  (3 + х)2 х2; 9 + 6х + х2 х2;  6х -9;  х ; х -1,5. 

Відповідь: [-1,5; +).

4. Приклад. Розв'яжіть нерівність |х – 1| + |х - 2| > х + 3.

Розв'язання

Ця нерівність рівносильна трьом системам:

Відповідь: x (-; 0) U (6; +).

Модуль дійсного числа

Властивості |а|0;       |а| = – |а|;    |а·b| = |a|·|b|;   |a|2=a2;    , якщо ; |а + b| |a| + |b|; |а + b| |a| - |b|;  |а - b| |a| - |b|.